Question

求下列幂级数的收敛区间及其在收敛区间内的和函数

Answer 1

记原式=f(x)=∑x^(2n)/(2n+1)
则g(x)=xf(x)=∑x^(2n+1)/(2n+1)
求导：g'(x)=∑x^(2n)
求和：g'(x)=x^2/(1-x^2)=-1+0.5[1/(1-x)+1/(1+x)], 收敛域为|x|<1
积分：g(x)=-x+0.5ln[(1+x)/(1-x)]+C
因为g(0)=0,故C=0
xf(x)=-x+0.5ln[(1+x)/(1-x)]
x=0时，有f(0)=0
|x|<1,且x≠0时，f(x)=g(x)/x=-1+(0.5/x)ln[(1+x)/(1-x)]