Question

已知a为常数，函数f（x）=ln（ 1+ x 2 +x）+ax．（1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定

已知a为常数，函数f（x）=ln（ 1+ x 2 +x）+ax．（1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数；（2）若a＜0，试求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

（1）证明∵ 1+ x 2 ＞|x|，∴函数定义域为R ∵f′（x）= ( 1+ x 2 +x)′ 1+ x 2 +x +a= ( 1+ x 2 )′+1 1+ x 2 +x +a= x 1+ x 2 +1 1+ x 2 +x +a= 1 1+ x 2 +a ∵a≥0，∴f′（x）＞0 ∴函数f（x）在其定义域R内是增函数 （2）∵f′（x）= 1 1+ x 2 +a  且a＜0 ∴f′（x）＜0? x 2 ＞ 1- a 2 a 2 ①当a≤-1时，f′（x）≤0恒成立且不恒等于零，故函数的单调减区间为（-∞，+∞） ②当-1＜a＜0时，原函数的单调减区间为（-∞， 1- a 2 a ），（- 1- a 2 a ，+∞）