Question

二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）

二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

（1）由条件设二次函数f（x）=a（x-1） 2 +16=ax 2 -2ax+a+16， 设f（x）=0的两根为：x 1 ，x 2 ，令x 1 ＜x 2 ， ∵图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得： （x 2 -x 1 ） 2 =（x 2 +x 1 ） 2 -4x 2 x 1 =（-2） 2 -4×a+16 a=64 解得a=-1， ∴函数的解析式为f（x）=-x 2 +2x+15． （2）①∵f（x）=-x 2 +2x+15， ∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x 2 -2ax-15， 而g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数， ∴对称轴x=a在[0，2]的左侧， ∴a≤0． 所以实数a的取值范围是{a|a≤0}． ②g（x）=x 2 -2ax-15，x∈[0，2]， 对称轴x=a， 当a＞2时，g（x） min =g（2）=4-4a-15=-4a-15， 当a＜0时，g（x） min =g（0）=-15， 当0≤a≤2时，g（x） min =g（a）=a 2 -2a 2 -15=-a 2 -15．