Question

如下图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线。（1）若∠BAC=60°，∠

如下图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线。（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=（ ）时，仍有BQ+AQ=AB+BP。

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=60°，∠ACB=40°， ∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°， ∵BQ平分∠ABC， ∴∠CBQ= ∠ABC= ×80°=40°， ∴∠CBQ=∠ACB， ∴BQ=CQ， ∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①， 过点P作PD∥BQ交CQ于点D， 则∠CPD=∠CBQ=40°， ∴∠CPD=∠ACB=40°， ∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°， ∵∠ABC=80°， ∴∠ABC=∠ADP， ∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP=∠CAP， ∵在△ABP与△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（AAS）， ∴AB=AD，BP=PD， ∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②， 由①②可得，BQ+AQ=AB+BP； （2）2α