Question

已知函数f（x）=x 3 +3ax 2 +3x+1．（I）求 a= 2 时，讨论f(x)的单调性 ；（II）若x∈[2，+

已知函数f（x）=x 3 +3ax 2 +3x+1．（I）求 a= 2 时，讨论f(x)的单调性 ；（II）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

（I）当a= 2 时，f（x）=x 3 +3 2 x 2 +3x+1， f′（x）=3x 2 +6 2 x+3，令f′（x）=0，可得x=- 2 -1 ，或x=- 2 +1 ， 当x∈（-∞，- 2 -1 ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（- 2 -1 ，- 2 +1 ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（- 2 +1 ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； （II）由f（2）≥0，可解得a≥ - 5 4 ，当a≥ - 5 4 ，x∈（2，+∞）时， f′（x）=3（x 2 +2ax+1）≥3（ x 2 - 5 2 x+1 ）=3（x- 1 2 ）（x-2）＞0， 所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0， 综上可得，a的取值范围是[ - 5 4 ，+∞）