Question

若F 1 、F 2 分别为双曲线 －＝1下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足：

若F 1 、F 2 分别为双曲线 －＝1下、上焦点，O为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足： ， （1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程（3）若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B 1 ，B 2 (B 2 在 x 轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且 ，求 时，直线AB的方程．

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Answer 1

(1) e ="2;(2)" 双曲线的方程为－＝1;(3) AB的方程为 y =±( x －3) .

(1) ，∴PF 1 OM为平行四边形， 又 知M在∠PF 1 O的角平分线上， ∴四边形PF 1 OM为菱形，且边长为 ＝ c ∴ ＝2 a + ＝2 a + c ，由第二定义＝ e 即＝ e ，∴+1＝ e 且 e >1 ∴ e ="2" (2)由 e =2，∴ c =2 a 即 b 2 =3 a 2 ，双曲线方程为 －＝1 又N(，2)在双曲线上，∴－＝1，∴ a 2 ＝3∴双曲线的方程为－＝1; (3)由 知AB过点B 2 ，若AB⊥ x 轴，即AB的方程为 x =3，此时AB 1 与BB 1 不垂直；设AB的方程为 y = k ( x －3)代入－＝1得 (3 k 2 －1) x 2 －18 k 2 x +27 k 2 －9="0" 由题知3 k 2 －1≠0且△>0即 k 2 > 且 k 2 ≠， 设交点A( x 1 ， y 1 )，B( x 2 ， y 2 )， ＝( x 1 +3， y 1 )， ＝( x 2 +3， y 2 )， ∵ ，∴ ＝0即 x 1 x 2 +3( x 1 + x 2 )+9+ y 1 y 2 ＝0 此时 x 1 + x 2 ＝， x 1 · x 2 =9， y 1 y 2 ＝ k 2 ( x 1 －3) ( x 2 －3)＝ k 2 [ x 1 x 2 －3( x 1 + x 2 )+9]= k 2 [18－]＝－ ∴9＋3＋9－＝0，∴5 k 2 ＝1，∴ k ＝± ∴AB的方程为 y =±( x －3) .