Question

（2014?郴州一模）如图，已知抛物线l1：y=x2-4与x轴相交于A，C两点．（1）若抛物线l2与抛物线l1关于x轴对

（2014?郴州一模）如图，已知抛物线l1：y=x2-4与x轴相交于A，C两点．（1）若抛物线l2与抛物线l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）点B是抛物线l1上一动点（B不与A，C重合），以AC为对角线，A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点是D，求证：D在抛物线l2上；（3）探究：当B沿l1分别移动到x轴上方或下方时，?ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，请指出它是什么特殊平行四边形，并求出其面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵l₁与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l₁与l₂关于x轴对称，
∴l₂过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
设y=ax²+4，
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴l₂的解析式为y=-x²+4；

（2）证明：设B（x₁，y₁），
∵点B在l₁上，
∴B（x₁，x₁²-4），
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，
∴B、D关于O对称，
∴D（-x₁，-x₁²+4），
将D（-x₁，-x₁²+4）的坐标代入l₂：y=-x²+4，
∴左边=右边，
∴点D在l₂上；

（3）解：设平行四边形ABCD的面积为S，
则S=2S_△ABC=AC×|y₁|=4|y₁|，
①当点B在x轴上方时，y₁＞0，
∴S=4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值；
②当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0，
∴S=-4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，
∴当y₁=-4时，S有最大值16，但它没有最小值，
此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
此时S_最大=16．