Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：OA平分∠BAC

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：OA平分∠BAC．

Answer 1

证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ECB．
在△BCD和△CBE中，

∠BEC＝∠CDB ∠BCE＝∠DBC BC＝CB

，
∴△BCD≌△CBE（AAS），
∴BD=CE．
∵OB=OC，
∴BD-OB=EC-OC
∴OD=OE．
在Rt△ODA和Rt△OEA中，

AO＝AO OD＝OE

，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
∴OA平分∠BAC．