Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率为22．直线l与椭圆C交

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率为22．直线l与椭圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C的右焦点F恰好为△BMN的垂心，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．
所以

c2

a2

＝

a2?b2

a2

＝

1

2

，解得a²=2．
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．   …（4分）
（Ⅱ）由题意，直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（1，0），
由

x2 2 +y2＝1 ，  y＝x+m ，

得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
根据韦达定理，x1+x2＝?

4

3

m，x1x2＝

2m2?2

3

．
于是

NF

?

BM

＝(1?x2)x1?y2