Question

已知双曲线与椭圆x227+y236＝1有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程，并

已知双曲线与椭圆x227+y236＝1有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程，并求其渐近线方程．

Answer 1

因为椭圆

x2

27

+

y2

36

＝1的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
故可设双曲线方程为

y2

a2

?

x2

b2

＝1(a＞0，b＞0)，且c＝3，a2+b2＝9．
由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为(

15

，4)，(?

15

，4)，因为点(

15

，4)[或(?

15

，4)]在双曲线上，所以有

16

a2

?

15

b2

＝1．

解方程组 a2+b2＝9 16 a2 ? 15 b2 ＝1. 得 a2＝4 b2＝5. 故所求双曲线的方程为 y2 4 ? x2 5 ＝1. 又a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝ 5 ， 所以双曲线的渐近线方程为y＝± a b x＝± 2 5 5 x.