Question

（2007?威海一模）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1

（2007?威海一模）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B-A1C1D的体积．

Answer 1

解答：证明：（I）连结AB₁交A₁B于E，连ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴侧面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB₁C中，ED是中位线．
∴B₁C∥ED．
又∵B₁C?平面A₁BD，ED?平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（II）∵AC₁⊥平面ABD，A₁B?平面ABD，
∴AC₁⊥A₁B，
又∵侧面ABB₁A是一正方形，
∴A₁B⊥AB₁．
又∵AC₁∩AB₁=A，AC₁，AB₁?平面AB₁C₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．
又∵B₁C₁?平面AB₁C₁．
∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴BB₁⊥B₁C₁．
又∵A₁B∩BB₁=B，A₁B，BB₁?平面ABB₁A₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
解：（III）∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC．
∴BD⊥平面DC₁A₁．
∴BD就是三棱锥B-A₁C₁D的高．
由（II）知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁．
∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．
又∵AB=BC=1
∴BD=

2

2

∴AC=A₁C₁=

2

∴三棱锥B-A₁C₁D的体积
V=

1

3

?BD?S△A1C1D=

1

3

?

2

2

?

1

2

?A₁C₁?AA₁=K=

1

6

…（12分）