Question

如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）。（1）求此函

如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）。（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵函数 的图象顶点为C（1，-2）， ∴函数关系式可表示为 ，
（2）设直线PE对应的函数关系到式为 ， 由题意知四边形ACBD是菱形，故直线PE必经过菱形的中心M， 由P（0， -1），M（1， 0）得：  解之，得 ， ∴直线PE对应的函数关系式为 ， 联列方程组，得： 解之，得 ， 得点E（3， 2）。
（3）假设存在这样的点F，设 ，过点F作FG⊥y轴垂足为点G， 在Rt△POM和△FGP中， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 解得， （不合题意，舍去），x 2 =1故得点 ， 以上各步皆可逆，故点 即为所求， ∴ 。