Question

已知关于x的一元二次方程x 2 +(m+3)x+m+1=0．⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；⑵若x

已知关于x的一元二次方程x 2 +(m+3)x+m+1=0．⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；⑵若x 1 ，x 2 是原方程的两根，且 ，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）m=-3时，x 1 = ，x 2 =- ；m=1时，x 1 =-2+ ，x 2 =-2- .

试题分析：（1）根据关于x的一元二次方程x 2 +（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b 2 -4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）根据根与系数的关系求得x 1 +x 2 =-（m+3），x 1 ?x 2 =m+1；然后由已知条件“|x 1 -x 2 |= ”可以求得（x 1 -x 2 ） 2 =（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 =8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程． 试题解析：（1）证明：∵△=（m+3） 2 -4（m+1）=（m+1） 2 +4 ∵无论m取何值，（m+1） 2 +4恒大于0 ∴原方程总有两个不相等的实数根 （2）∵x 1 ，x 2 是原方程的两根 ∴x 1 +x 2 =-（m+3），x 1 ?x 2 =m+1…5分 ∵|x 1 -x 2 |= ∴（x 1 -x 2 ） 2 =（ ） 2 ∴（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 =8 ∴[-（m+3）] 2 -4（m+1）=8∴m 2 +2m-3=0 解得：m 1 =-3，m 2 =1 当m=-3时，原方程化为：x 2 -2=0 解得：x 1 = ，x 2 =- 当m=1时，原方程化为：x 2 +4x+2=0 解得：x 1 =-2+ ，x 2 =-2- 考点: 1.根的判别式；2.根与系数的关系．