Question

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB= 1 2 c．（I）求证：tanB=3tanA；

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB= 1 2 c．（I）求证：tanB=3tanA；（Ⅱ）若 cosC= 5 5 ，求角A的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵bcosA-acosB= 1 2 c， ∴由正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB= 1 2 sinC，…1 ∴sinBcosA-sinAcosB= 1 2 sin（A+B）…3 ∴2sinBcosA-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，…4 ∴sinBcosA=3sinAcosB， ∵0＜A＜π，0＜B＜π， ∴cosA＞0，cosB＞0，…5 ∴tanB=3tanA；…6 （Ⅱ）∵cosC= 5 5 ， ∴0＜C＜ π 2 ，sinC= 2 5 5 ，tanC=2，…7 ∴tanC=tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，…8 ∴ tanA+tanB 1-tanAtanB =-2，…9 ∵tanB=3tanA， ∴ 4tanA 1- 3tan 2 A =-2，…10 ∴tanA=1或tanA=- 1 3 ，…11 ∵cosA＞0， ∴tanA=1，A= π 4 ．