Question

已知f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2+mx+7/2(m<0),直线l与函数f(x).g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横

问：是否存在实数c，使得f(x)<x+c^2+c-3对定义域内任意x都成立；
请写出详细过程，谢谢！！

Answer 1

此问和g(x)无关，使得f(x)<x+c^2+c-3在定义域内恒成立则转化为求lnx-x<c^2+c-3在x>0时恒成立。
设k(x)=lnx-x, h(x)=c^2+c-3
对k(x)求导得k'(x)=1/x-1 因为x>0，所以-1<k'(x)<0,所以在x>0处k(x)恒减，所以k(x)<0
这是此题转化为求使h(x)>0恒成立得c的取值情况
由求根公式的解：-(1+根号13)/2<c<(-1+根号13)/2