Question

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式和C

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式和C点坐标；（2）设该抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在该抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

解：（1）A（-1，0）、B（3，0）两点代入抛物线解析式y=x²+bx+c中得：

1?b+c＝0 9?3b+c＝0

，
解得：

b＝?2 c＝?3

，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3，
令x=0，
即y=3，
∴C（0，-3）；

（2）如图1，∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM．
则△AOC的面积=

3

2

，△MOC的面积=

3

2

，
△MOB的面积=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

（3）如图2，设D（m，m²-2m-3），连接OD．
则0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面积=

3

2

，△DOC的面积=

3

2

m，
△DOB的面积=-

3

2

（m²-2m-3），
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-

3

2

m²+

9

2

m+6
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

．
∴存在点D（

3

2

，-

15

4

），使四边形