Question

已知函数f（x）=x2+bx+c对任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，且f（2+sinβ）≤0．（1）求f（1）的值；（2

已知函数f（x）=x2+bx+c对任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，且f（2+sinβ）≤0．（1）求f（1）的值；（2）求证：c≥3；（3）若f（sinα）的最大值为10，求f（x）的表达式．

Answer 1

（1）∵-1≤sinα≤1，1≤2+sinβ≤3，
且对任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，f（2+sinβ）≤0；
∴对x∈[-1，1]时，f（x）≥0，对x∈[1，3]时，f（x）≤0；
∴f（1）=0．                                                      
（2）∵对x∈[-1，1]时，f（x）≥0，对x∈[1，3]时，f（x）≤0，
∴二次函数f（x）的对称轴满足：x＝?

b

2

≥

1+3

2

＝2，
∴b≤4；
由（1）知，f（1）=0，
∴1+b+c=0，
∴c=-b-1≥4-1=3．
（3）∵f（sinα）的最大值为10，
∴f（x）在[-1，1]的最大值为10；
又∵二次函数f（x）图象开口向上且对称轴：x＝?

b

2

≥

1+3

2

＝2，
∴f（x）在[-1，1]上单调递减，
∴f（-1）=10，
∴1-b+c=10①；
又由（1）知，f（1）=0，
∴1+b+c=0②；
联立①②，解得b=-5，c=4，
∴f（x）的表达式为f（x）=x²-5x+4．