Question

设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．（1）求数列{an}的通项公式；

设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a_n²=2S_n-a_n，
∴当n=1时，a12=2a₁-a₁，即a12=a₁，
∵a₁＞0，a₁=1…1分
又an+12=2S_n+1-a_n+1，
∴an+12-an2=2（S_n+1-S_n）-a_n+1+a_n，
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，{a_n}的各项都是正数，
∴a_n+1-a_n=1…4分
∴数列{a_n}是1为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n…6分
（2）由（1）知，b_n=（2n+1）2an=（2n+1）?2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）?2ⁿ①
∴2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）?2ⁿ⁺¹②…8分
①-②得：-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=6-（2n+1）?2ⁿ⁺¹+

23(1-2n-1)

1-2

=-（2n-1）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）?2ⁿ⁺¹=2…12分