Question

数列{an}中，a1=2，an=an-1+2n（n≥2）（1）求这个数列的通项公式an（2）若{1an}的前n项和为Sn，求出Sn并

数列{an}中，a1=2，an=an-1+2n（n≥2）（1）求这个数列的通项公式an（2）若{1an}的前n项和为Sn，求出Sn并证明12≤Sn＜1．

Answer 1

（1）∵a_n=a_n-1+2n，
∴a_n-1=a_n-2+2（n-1），…，a₂=a₁+2?2
将这n-1个式子相加得：a_n=n（n+1）…（4分）
（2）∵

1

an

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

…（6分）
∴Sn＝1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

，
∴Sn＝1?

1

n+1

．…（8分）
∵n+1≥2，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

，
∴

1

2

≤Sn＜1．…（12分）