Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交边AC于点F．（1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交边AC于点F．（1）求BC的长；（2）设FC=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，
∵AB²=BC²+AC²，
∴BC=8．

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△ACB∽△EHB，
可得：

BC

AC

＝

BH

EH

即：

8

6

＝

BH

EH

…①
∵DF⊥DE
∴∠EDB+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠CFD=90°，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠EHD=∠C=90°
∴△DFC∽△EDH，
可得：

CF

CD

＝

DH

EH

，
即：

x

4

＝

DH

EH

…②
结合①②，可得：BH=

64

3x+16

，
∵△ACB∽△EHB，
∴

BC

AB

＝

BH

BE

，
即：

8

10

＝

BH

y

，
∴y=

5

4

BH=

80

3x+16

，
∵其中F是在AC线段上的，
∴0≤x≤6．
∴y关于x的函数关系式：y=

80

3x+16

（0≤x≤6）．

（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵△EHD∽△DCF
∴

EH

CD

＝

DE

DF

，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：
①

DE

DF

＝

AC

BC

＝

3

4

，
∴

EH

CD

＝

3

4

，
即

3k

2

＝

3

4

，
解得k＝

1

2

，
∴BE＝5k＝

5

2

；
②

DE

DF

＝

BC

AC

＝

4

3

，
∴

EH

CD

＝

4

3

，
即