Question

已知：关于x的方程x2+（2m+4）x+m2+5m没有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若关于x的一元二次方程mx2+

已知：关于x的方程x2+（2m+4）x+m2+5m没有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若关于x的一元二次方程mx2+（n-2）x+m-3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；（3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．

Answer 1

（1）∵关于x的方程x²+（2m+4）x+m²+5m没有实数根，
∴△=（2m+4）²-4×1×（m²+5m）＜0，
∴m＞4，
∴m的取值范围是m＞4；

（2）由于方程mx²+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，
当m＞4时，

m-3

m

＞0，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．  

（3）由已知得：m≠0，α+β=-

n-2

m

，α?β=

m-3

m

．
∵α：β=1：2，
∴3α=-

n-2

m

，2a²=

m-3

m

．

(n-2)2

9m2

=

m-3

2m

，即（n-2）²=

9

2

m（m-3）．
∵m＞4，且n为整数，
∴m为整数；
当m=6时，（n-2）²=

9

2

×6×3=81．
∴m的最小值为6．