Question

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及减区间；（Ⅱ）当x∈[0，π2]时

已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及减区间；（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的最值，及取得最值时自变量x的值．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝

3

sin2x+cos2x＝2sin(2x+

π

6

)----（2分）
∴T=π，-----（3分）
当2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z 时，
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z时，
f（x）为减函数-----（5分）
∴y=f（x）减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z-----（6分）；
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，
则

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

------（8分）
当2x+

π

6

＝

π

2

，即x＝

π

6

时，函数有最大值，
最大值为f（x）_max=2；--------（10分）
当2x+

π

6

＝

7π

6

，即x＝

π

2

时，函数有最小值，
最小值为f（x）_min=-1------（12分）