Question

（2013?长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，

（2013?长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．

Answer 1

解答：解：连接OD、OE．
则OD=OE=1，
∵O是△ABC的内切圆圆心
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
即∠OBD＝∠OBE＝

1

2

∠ABC且∠OCD＝

1

2

∠ACB
又∵∠ACB=90°，∴∠OCD＝

1

2

∠ACB＝45°，
∵OD、OE是过切点的半径，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
tan∠BOD＝

DB

OD

＝

DB

1

＝

3

，
∴DB＝

3

，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵∠DOB＝∠OBE＝

1

2

∠ABC＝30°，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+

3

在Rt△ABC中，
AB=2+2

3

，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE=

1

tan30°

=

3

，
∴AE=2+

3

．