已知A、B是抛物线y=1-x2上在y轴两侧的点，求过点A、B的切线与x轴围成面积的最小值
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由于抛物线y=1-x2关于y轴对称，
不妨设点A（x0，y0）在抛物线上y轴的右侧，研究过A点的切线与x轴、y轴围成的三角形面积的最小值．
本题过点A的切线即以点A为切点．
∵y=1-x2，∴y'=-2x．
∴y0＝1?x02，k=-2x0．
∴切线方程为：y?1+x02＝?2x0(x?x0)．
当x=0时，y＝x02+1，
当y=0时，x＝
，
则该直线与x轴、y轴围成的三角形面积为：
×(x02+1)×
，（x0＞0）
记f(t)＝
，(t＞0)．
f ′(t)＝
＝
，
当0＜t＜
时，f'（t）＜0，f（x）单调递减；
当t＞
时，f'（t）＜0，f（x）单调递增．
当t＝
时，f'（t）=0，f（x）取极小值，f(
)＝
．
∴过抛物线y=1-x2上在y轴两侧的点A、B的切线与x轴围成面积的最小值为
．
不妨设点A（x0，y0）在抛物线上y轴的右侧，研究过A点的切线与x轴、y轴围成的三角形面积的最小值．
本题过点A的切线即以点A为切点．
∵y=1-x2，∴y'=-2x．
∴y0＝1?x02，k=-2x0．
∴切线方程为：y?1+x02＝?2x0(x?x0)．
当x=0时，y＝x02+1，
当y=0时，x＝
| x02+1 |
| 2x0 |
则该直线与x轴、y轴围成的三角形面积为：
| 1 |
| 2 |
| x02+1 |
| 2x0 |
记f(t)＝
| (t2+1)2 |
| 4t |
f ′(t)＝
| 3t4+2t2?1 |
| 4t2 |
3(t2+1)(t+
| ||||||||
| 4t2 |
当0＜t＜
| ||
| 3 |
当t＞
| ||
| 3 |
当t＝
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
∴过抛物线y=1-x2上在y轴两侧的点A、B的切线与x轴围成面积的最小值为
8
| ||
| 9 |
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