Question

已知函数g（x）=-x2-3，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）为奇函数，且当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，

已知函数g（x）=-x2-3，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）为奇函数，且当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，则f（x）表达式为f（x）=x2+3x+3或f（x）=x2?22x+3．f（x）=x2+3x+3或f（x）=x2?22x+3．．

Answer 1

设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
则f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
又f（x）+g（x）为奇函数，
∴（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3对任意x∈R恒成立，
∴

a?1＝?(a?1) c?3＝?c+3

，解得：

a＝1 c＝3

，
∴f（x）=x²+bx+3，其对称轴为x=-

b

2

，
①当-

b

2

＜-1时，即b＞2时，f（x）_min=f（-1）=4-b=1，解得b=3； 
②当-1≤?

b

2

≤2时，即-4≤b≤2时，f(x)min＝f(?

b

2

)=

b2

4

?

b2

2

+3=1，
解得：b=-2

2

或b=2

2

（舍）；
③当?

b

2

＞2时，即b＜-4时，f（x）_min=f（2）=7+2b=1，解得b=-3（舍），
综上知，f（x）=x²+3x+3或f（x）=x2?2

2

x+3．