Question

如图所示，长L=9m的传送带与水平方向的倾角为37°，在电动机的带动下以v=4m/s 的速率顺时针方向运行，在

如图所示，长L=9m的传送带与水平方向的倾角为37°，在电动机的带动下以v=4m/s 的速率顺时针方向运行，在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的A端无初速地放一质量m=1kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计．（ g=10m/s2，）求：（1）物块从第一次静止释放到与挡板P第一次碰撞后，物块上升到最高点时到挡板P的距离；（2）物块最终的运动状态及达到该运动状态后电动机的输出功率．

Answer 1

（1）物块从A点由静止释放，由牛顿第二定律得：
向下运动的加速度：ma₁=mgsinθ-μmgcosθ，代入数据解得：a₁=2m/s²，
由速度位移公式可知，与P碰前的速度v₁=

2a1L

=

2×2×9

=6m/s，
物块与挡板碰撞后，以v₁的速率反弹，因v₁＞v，物块相对传送带向上滑，
由牛顿第二定律可知，物块向上做减速运动的加速度ma₂=mgsinθ+μmgcosθ，代入数据解得：a₂=10m/s²
物块速度减小到与传送带速度相等所需时间：t₁=

v1?v

a2

=

6?4

10

=0.2s，
物块向上的位移：x₁=

v1+v

2

t₁=

6+4

2

×0.2=1m，
物块速度与传送带速度相等后，μ＜tanθ，由牛顿第二定律可知，ma₃=mgsinθ-μmgcosθ，
代入数据解得，物块向上做减速运动的加速度：a₃=2m/s²，
物块向上的位移：x₂=

v2

2a3

=

42

2×2

=4m，离P点的距离：x₁+x₂=1+4=5m
（2）物块上升到传送带的最高点后，物块沿传送带向下加速运动，与挡板P第二次碰掸前的速度：v₂=

2a1(x1+x2)

=

2×2×(1+4)

=

20

m/s，
碰后因v₂＞v，物块先向上做加速度为a₂的减速运动，再做加速度为a₃的减速运动，以此类推经过多次碰撞后物块以v=4m/s的速率反弹，
故最终物块在P与离P 点4m的范围内不断做向上的加速度为2 m/s²的减速运动和向下做加速度为2 m/s²的加速运动，
物块的运动达到这一稳定状态后，物块对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力F_f=μmgcosθ，
故电动机的输出功率：P=（μmgcosθ）v，代入数据解得：P=16W；
答：（1）物块从第一次静止释放到与挡板P第一次碰撞后，物块上升到最高点时到挡板P的距离为5m；
（2）物块最终的运动状态及达到该运动状态后电动机的输出功率为16W．