Question

如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB=DC，BC=AD

如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB=DC，BC=AD．

Answer 1

证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF， 所以PC 2 =PQ?PO（射影定理）， 又PC 2 =PE?PF， 所以EFOQ四点共圆， ∠EQF=∠EOF=2∠BAD， 又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF， 而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°， 故B、E、C、Q四点共圆， 所以∠EBC=∠EQC= 1 2 ∠EQF= 1 2 ∠EOF=∠BAD， ∴CB ∥ AD， 所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，BC=AD．

Answer 2