Question

一个数学题，求高手帮忙解答

已知函数f(x)=x|x-m|+n,x属于R若m=1,方程f(x)=0有且只有两解,求n的值,(3)若n=--1 /2, 且对任意 x属于[0,1],不等式 f(x)<0恒成立,求实数 m的取值范围

Answer 1

m=1时，
f(x)=x|x-1|+n
当x>1时，
f(x)=x^2-x+n
抛物线开口向上，对称轴为x=(1/2); 函数f(x)在(1,+∞)单调增；
当x=1时，f(x)=n.
当x<1时，
f(x)= - x^2+x+n
抛物线开口向下，对称轴还是x=(1/2)
函数f(x)在(-∞,1)上的单调性是先增后减；
整个图象呈现一个大写的N字样，先增后减再增；
极大值点( 1/2 , (1/4)+n) ; 极小值点(1,n)
要使f(x)=0有两解，必须：
n=0或(1/4)+n=0
即,
n1=0; n2= - 1/4
(3)
难！！
当x=0时，f(x)= - 1/2<0满足条件；
当0<x≤1时，
i)
当x≥m时，
f(x)=x^2-mx-1/2<0
mx>x^2-(1/2)
m>x-[1/(2x)]
x≥m>x-[1/(2x)]
m的左右两边的函数都是增函数；
m>x-[1/(2x)]恒成立，恒大就是左边的m比右边的最大值还要大；
而右边的最大值为(1/2)
即m>1/2
同时m≤x 恒成立，恒小就是左边的m比右边的最小值 0 还要小；
m<0
这样的m不存在！
ii)
当x<m时；
f(x)= - x^2+mx-(1/2)<0
mx<x^2+(1/2)
m<x+[1/(2x)]
x<m<x+[1/(2x)]
x<m恒成立，则m>1,即1<m
m<x+[1/(2x)] 右边是一个对勾函数，最小值为2√x·[1/(2x)]=√2
m<√2;故
1<m<√2
综合可知：
1<m<√2