Question

已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的函数图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点

已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的函数图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2），且4a+2b+c=0，S△ABC=32．（1）求二次函数的解析式；（2）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围并求面积S的最大值．

Answer 1

解：（1）由已知得：c=8，
又∵4a+2b+c=0，
∴抛物线经过（2，0），
∴点B的坐标为（2，0），
∵S_△ABC=32．
∴

1

2

×8×AB=32
解得：AB=8
∴A（-6，0），
将点A（-6，0）B（2，0）代入y=ax²+bx+c得：

36a?6b+8＝0 4a+2b+8＝0

解得：

a＝? 2 3 b＝? 8 3

故二次函数的解析式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

10

=

8?m

8

∴EF=

40?5m

4

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

∴

FG

EF

=

4

5

∴FG=

4

5

?

40?5m

4

=8