Question

选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l过点P（2，0），斜率为43，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线

选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l过点P（2，0），斜率为43，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）|PM|； （2）|AB|．

Answer 1

（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为

4

3

，
设直线的倾斜角为α，tanα=

4

3

，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴直线l的参数方程为

x＝2+ 3 5 t y＝ 4 5 t

（t为参数）（*）
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，且△=15²+4×8×50＞0，
设这个一元二次方程的两个根为t₁、t₂，
由根与系数的关系，得t₁+t₂=

15

8

，t₁t₂=?

25

4

，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，
得|PM|＝|

t1+t2

2

|＝

15

16

．
（2）|AB|=|t₂-t₁|
=

(t1+t2)2?4t1t2

＝

5

8

73

．