Question

已知如图，Rt△ABC的两直角边 OA，OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点，且OC=OB，抛物线y=

已知如图，Rt△ABC的两直角边 OA，OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点，且OC=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（其中m、p为常数，且m+2≥2p＞0）经过A，C两点．（1）证明：（p，0）在抛物线上；（2）用m，p分别表示OA，OC的长；（3）当m，p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

Answer 1

（1）把x=p代入抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）中，
得到y=（p-2）（p-m）-（p-2）（p-m）=0，
则（p，0）在抛物线上；

（2）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
∴x²-mx-2x-p²+mp+2p=0，
∴（x+p）（x-p）+m（p-x）+2（p-x）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p，
∵m+2＞2＞0，
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=p；

（3）∵OC=OB，S_△AOB=

1

2

OA?OB，
∴S_△AOB=

1

2

OA?OB=

1

2

p?（m+2-p），
=-

1

2

p²+

1

2

（m+2）?P，
∴当p=-

1 2 (m+2)

2×(? 1 2 )

＝

1

2

（m+2），
即2p=m+2时，S_△AOB最大．