设a∈R,函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值;(2)若a>2,写出函

设a∈R,函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值;(2)若a>2,写出函数f(x)的单调区间(不必证明);(3)若存在... 设a∈R,函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值;(2)若a>2,写出函数f(x)的单调区间(不必证明);(3)若存在a∈[3,6],使得关于x的方程f(x)=t+2a有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围. 展开
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蹠惧
2015-01-20 · 超过64用户采纳过TA的回答
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解答:(1)当a=2,x∈[0,3]时,f(x)=x|x-2|=
x2,x≥2
?x2+4x,0≤x<2

作函数图象,

可知函数f(x)在区间[0,3]上是增函数.
所以f(x)在区间[0,3]上的最大值为f(3)=9.
(2)f(x)=
x2+(2?a)x,x≥a
?x2+(2+a)x,x<a

①当x≥a时,f(x)=(x-
a?2
2
2-
(a?2)2
4

因为a>2,所以
a?2
2
<a

所以f(x)在[a,+∞)上单调递增.
②当x<a时,f(x)=-(x-
a?2
2
2-
(a?2)2
4

因为a>2,所以
a+2
2
<a

所以f(x)在(-∞,
a+2
2
]上单调递增,在[
a+2
2
,a]上单调递减.
综上所述,函数f(x)的递增区间是(-∞,
a+2
2
]和[a,+∞),递减区间是[
a+2
2
,a].
(3)当3≤a≤6时,由(1)知f(x)在(-∞,
a+2
2
],[a,+∞)上分别是增函数,
在[
a+2
2
,a]上是减函数,
当且仅当2a<t+2a<
(a+2)2
4
时,方程f(x)=t+2a有三个不相等的实数解.
即 0<t<
(a+2)2
4

令,g(a)=
(a?2)2
4
在a∈[3,6]时是增函数,
故g(a)max=4.
∴实数t的取值范围是(0,4).
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