Question

已知定圆C1x^2+y^2+Dx+Ey+F=0（D不为0）和两定点M(-a,0)N(a,0)。过MN任作圆C2交圆C1于P，Q两点，

求证：直线PQ必过一定点。

Answer 1

很明显C2圆心在y轴上，所以可设C2为x²+(y+B/2)²=C，圆心为(0,-B/2)，代入M点化简得：
x²+y²+By-a²=0
假设P为(x1,y1)，则很明显x1、y1要同时满足圆C1的方程和圆C2的方程：
∴x1²+y1²+Dx1+Ey1+F=0
x1²+y1²+By1-a²=0
两式相减得：
Dx1+(E-B)y1+F+a²=0
同理假设Q为(x2,y2)，则可得：
Dx2+(E-B)y2+F+a²=0
所以无论是P点还是Q点，都满足直线方程
Dx+(E-B)y+F+a²=0
即直线Dx+(E-B)y+F+a²=0同时过P点和Q点
∴该直线即PQ！
现只需证明该直线过某一定点
很明显该直线过点A(-(F+a²)/D,0)
又∵F、D、a都是定值
∴A为定点
即直线PQ必过定点A
证毕！