Question

如何在压缩感知中正确使用阈值迭代算法

Answer 1

　　如何在压缩感知中正确使用阈值迭代算法？ 测量[2]。重构算法是依据对信号的测量和问题的稀疏性重构原始信号的技术。上述过程可以描述为 如下数学模型：设s ∈ RN 为原始信号，该信号在某组基{ψi }N 下具有稀疏表示s = Ψx，其中Ψ = i=1 [ψ1 , ψ2 , . . . , ψN ]， = [x1 , x2 , . . . , xN ] ；给定测量矩阵Θ ∈ RM ×N ， Θ可得到信号s的观测值y， x 由 即 y = Θs = ΘΨx 其中Φ = ΘΨ ∈ RM ×N 称为传感矩阵， 为采样数；则从观测数据y来恢复未知的稀疏向量x， M 进而恢 复原始信号s的问题可建模为下述L0 问题: x∈RN min x 0 s.t. y = Φx (1.1) 这里 x 0 为x的非零分量的个数。显然L0 问题是一个组合优化问题（NP难问题[11]） 通常将其转化到 ， 一个稀疏优化问题求解： x∈RN min S(x) s.t. y = Φx (1.2) 这里S(x)是x的某个稀疏度量[16]，例如对给定的q ∈ (0, 1]，取S(x) = x q ，其中 x q 是x的q?准范 q 数。L0 问题（1.1）和稀疏优化问题(1.2)通常都纳入如下的正则化框架来加以研究： x∈RN min Cλ (x) y ? Φx 2 + P (x; λ) (1.3) 其中λ > 0为正则化参数， (x; λ)为罚函数。 P 不同的罚函数对应不同的压缩感知模型， 例如， (x; λ) = P 1/2 λ x 0 对应L0 问题； (x; λ) = λ x 1 对应L1 问题[8]， (x; λ) = λ x 1/2 对应L1/2 问题[9]， P P 等等。正则化 框架提供了压缩感知研究的一般模型。通常，我们要求罚函数P (x; λ)具有某些特别性质，例如，我们 假设： (i) 非负性： (x; λ) P 0, ?x ∈ RN ； c}有界； 0； (ii) 有界性：对任何正常数c， 集合{x : P (x; λ) (iii) 可分性： (x; λ) = P N i=1 λp(xi )， p(xi ) 且 (iv) 原点奇异性： (x; λ)在x = 0处不可导， P 但在其它点处处可导。 本文目的是：从正则化框架（1.3）出发，研究并回答以下有关压缩感知应用的四个基本问题：如 何从给定的罚函数导出压缩感知问题的阈值表示？如何根据阈值表示设计阈值迭代算法并建立其收 敛性理论？ 如何应用阈值迭代算法到压缩感知问题？ 如何针对不同特征的压缩传感问题选择不同形式 的阈值迭代算法？所获结论期望为压缩感知中如何正确使用阈值迭代算法提供理论依据。 2 阈值迭代算法与压缩传感 本节讨论前三个问题。作为预备， 我们首先简要介绍阈值函数与阈值迭代算法。 2.1 阈值函数 高效、 快速、 高精度的重构算法是压缩感知广泛应用的前提。 阈值迭代算法 Thresholding Iterative （ Algorithms）正是这样一类十分理想的压缩感知重构算法，它因迭代简单、可单分量处理、能有效 2 中国科学 第 40 卷 第 1 期 用于大规模高维问题而得到普遍推崇。Blumensath等[14]提出了求解近似L0 问题的Hard阈值迭代算 法， Daubechies等[15]提出了求解L1 问题的Soft阈值迭代算法， 徐宗本等[9, 10, 16]提出了求解L1/2 问题 的Half和Chalf阈值迭代算法。