Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线 ，交BC于点E．（1）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线 ，交BC于点E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD= 2 6 ，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接DO； ∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线； 又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90° 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED， ∴EB=EC，即点E是边BC的中点； （2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线， ∴BC 2 =BD?BA， ∴（2EC） 2 =BD?BA，即BA?2 6 =36， ∴BA=3 6 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC= A B 2 -B C 2 = (3 6 ) 2 - 6 2 =3 2 ； （3）△ABC是等腰直角三角形． 理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO ∥ BC， 又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形．