Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC= 1 2 AB；（3）点M是 AB 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN?MC的值．

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Answer 1

（1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线．（3分） （2）证明：∵AC=PC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P． 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB， ∴∠COB=∠CBO， ∴BC=OC． ∴BC= 1 2 AB．（6分） （3）连接MA，MB， ∵点M是 AB 的中点， ∴ AM = BM ， ∴∠ACM=∠BCM． ∵∠ACM=∠ABM， ∴∠BCM=∠ABM． ∵∠BMN=∠BMC， ∴△MBN ∽ △MCB． ∴ BM MC = MN BM ． ∴BM 2 =MN?MC． 又∵AB是⊙O的直径， AM = BM ， ∴∠AMB=90°，AM=BM． ∵AB=4， ∴BM=2 2 ． ∴MN?MC=BM 2 =8．（10分）