Question

已知z 7 =1（z∈C且z≠1）．（1）证明1+z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 =0；（2）设z的辐角为α，求cosα+cos

已知z 7 =1（z∈C且z≠1）．（1）证明1+z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 =0；（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．

Answer 1

（1）由z（1+z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 ） =z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 +z 7 =1+z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 ， 得（z-1）（1+z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 ）=0．（4分） 因为z≠1，z-1≠0， 所以1+z+z 2 +z 3 +z 4 +z 5 +z 6 =0．（6分） （2）因为z 7 =1．可知|z|=1， 所以 z? . z =1 ，而z 7 =1，所以z?z 6 =1， z 6 = . z ，同理 . z 2 = z 5 ， . z 4 = z 3 ， . z+ z 2 + z 4 = z 3 + z 5 + z 6 由（Ⅰ）知z+z 2 +z 4 +z 3 +z 5 +z 6 =-1， 即 z+ z 2 + z 4 + . z+ z 2 + z 4 =-1 ， 所以z+z 2 +z 4 的实部为 - 1 2 ，（8分） 而z的辐角为α时，复数z+z 2 +z 4 的实部为cosα+cos2α+cos4α， 所以 cosα+cos2α+cos4α=- 1 2 ．（12分）