Question

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点。 （1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点。 （1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ； （2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S，若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠OBP=∠ODQ， ∵O是BD的中点， ∴OB=OD， 在△BOP和△DOQ中， ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ， ∴△BOP≌△DOQ（ASA）， ∴OP=OQ； （2）如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T， ∵ABCD是菱形，∠DCB=60°， ∴AB=AD=4，∠ABT=60°， ∴AT=ABsin60°= ，TB=ABcos60°=2， ∵BS=10， ∴TS=TB+BS=12， ∴AS= ， ∵AD∥BS， ∴△AOD∽△SOB， ∴ ， 则 ， ∴ ， ∵AS= ， ∴ ， 同理可得△ARD∽△SRC， ∴ ， 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴OR=OS-RS= 。