Question

已知：如图，在平面直角坐标系 O 中，矩形OABC的边OA在 轴的正半轴上，OC在 轴的正半轴上，OA=2，OC=

已知：如图，在平面直角坐标系 O 中，矩形OABC的边OA在 轴的正半轴上，OC在 轴的正半轴上，OA=2，OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E. （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与 轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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Answer 1

（1） ；（2）EF=GO成立；（3）Q（2，2）或Q（1， ）或Q（ ， ）

试题分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式； （2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解； （3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性． （1）由已知，得C（3，0），D（2，2）， ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD， ∴AD=BC．AD=2． ∴E（0，1） 设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0）． 将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，得 （2）EF=2GO成立． ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为 ， ∴点M的纵坐标为 设DM的解析式为y=kx+b 1 （k≠0），将点D、M的坐标分别代入 ∴DM的解析式为 ∴F（0，3），EF=2． 过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK ∵∠ADK=∠FDG=90°， ∴∠FDA=∠GDK． 又∵∠FAD=∠GKD=90°， ∴△DAF≌△DKG． ∴KG=AF=1． ∵OC=3， ∴GO=1． ∴EF=2GO； （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0）， 则设P（t，2）． ∴PG 2 =（t-1） 2 +2 2 ，PC 2 =（3-t） 2 +2 2 ，GC=2． ①PG=PC，则（t-1） 2 +2 2 =（3-t） 2 +2 2 ， 解得t=2． ∴P（2，2），此时点Q与点P重合， ∴Q（2，2）．（9分） ②若PG=GC，则（t-1） 2 +2 2 =2 2 ， 解得t=1， ∴P（1，2）， 此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1， ∴点Q的纵坐标为 ， ∴Q（1， ） ③若PC=GC，则（3-t） 2 +2 2 =2 2 ，解得t=3， ∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形． 过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h， ∴Q（h+1，h）． 解得h 1 = ，h 2 =-2（舍去）． ∴Q（ ， ）． 综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1， ）或Q（ ， ）． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．