Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若 AB ?

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若 AB ? BC =- 3 2 ，b= 3 ，求a+c的值；（2）求2sinA-sinC的取值范围．

Answer 1

（1）∵A，B，C成等差数列， ∴B= π 3 ． ∵ AB ? BC =- 3 2 ， ∴accos（π-B）=- 3 2 ， ∴ 1 2 ac= 3 2 ，即ac=3． ∵b= 3 ，b 2 =a 2 +c 2 -2accosB， ∴a 2 +c 2 -ac=3，即（a+c） 2 -3ac=3． ∴（a+c） 2 =12，所以a+c=2 3 ． （2）2sinA-sinC=2sin（ 2π 3 -C）-sinC=2（ 3 2 cosC+ 1 2 sinC）-sinC= 3 cosC． ∵0＜C＜ 2π 3 ， ∴ 3 cosC∈（- 3 2 ， 3 ）． ∴2sinA-sinC的取值范围是（- 3 2 ， 3 ）．