Question

设z是虚数，满足 ω=z+ 1 z 是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）

设z是虚数，满足 ω=z+ 1 z 是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设 u= 1-z 1+z ．求证：u是纯虚数；（3）求ω-u 2 的最小值．

Answer 1

（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则 ω=z+ 1 z =a+bi+ 1 a+bi =a+bi+ a-bi a 2 + b 2 =a+ a a 2 + b 2 +(b- b a 2 + b 2 )i ∵ω∈R∴ b- b a 2 + b 2 =0 且b≠0得a 2 +b 2 =1即|z|=1 此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴ - 1 2 ＜a＜1 即z的实部的取值范围为 (- 1 2 ，1) ．…（4分） （2） u= 1-z 1+z = 1-(a+bi) 1+(a+bi) = [(1-a)-bi][(1+a)-bi] (1+a) 2 + b 2 ． ∵a 2 +b 2 =1 ∴u= - b 1+a i 又 b≠0，- 1 2 ＜a＜1 故u是纯虚数．…（8分） （3） ω- u 2 =2a+ b 2 (1+a) 2 =2a+ 1- a 2 (1+a) 2 = 2a+ 1-a 1+a =2[(a+1)+ 1 a+1 ]-3 由 a∈(- 1 2 ，1) 知 (a+1)+ 1 a+1 ≥2 ， 故当且仅当 a+1= 1 a+1 ，a=0 时ω-u 2 的最小值为1．…（14分）．