Question

选修4-4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极

选修4-4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为 x=2+tcosα y=tsinα （t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρsin 2 θ=8cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求 1 |AF| + 1 |BF| 的值．

Answer 1

（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin 2 θ=8cosθ，可得ρ 2 sin 2 θ=8ρcosθ． 把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得y 2 =8x． （2）由直线l的参数方程为 x=2+tcosα y=tsinα ，可得l与x轴的交点F（2，0）． 把直线l的方程代入抛物线方程可得（tsinα） 2 =8（2+tcosα），整理得t 2 sin 2 α-8tcosα-16=0， 由已知sinα≠0，△=（-8sinα） 2 -4×（-16）sinα＞0， ∴sinα≠0，cos 2 α+sinα＞0． ∴ t 1 + t 2 = 8cosα si n 2 α ， t 1 t 2 =- 16 si n 2 α ＜0． 故 1 |AF| + 1 |BF| = | 1 t 1 - 1 t 2 | = | t 1 - t 2 t 1 t 2 | = ( t 1 + t 2 ) 2 -4 t 1 t 2 | t 1 t 2 | = ( 8cosα si n 2 α ) 2 + 64 si n 2 α 16 si n 2 α = 1 2 ．