Question

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P（2， ），点F 2 在线段PF 1

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P（2， ），点F 2 在线段PF 1 的中垂线上，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F 2 M与F 2 N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。

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Answer 1

解：（1）由椭圆C的离心率e= ， 椭圆C的左、右焦点分别为F 1 （-c，0）、F 2 （c，0）， 又点F 2 在线段PF 1 的中垂线上， ∴|F 1 F 2 |=|PF 2 |， ∴（2c） 2 =（ ） 2 +（2-c） 2 ，解得c=1， ∴a 2 =2，b 2 =1， ∴椭圆的方程为 +y 2 =1； 2）由题意，直线MN的方程为y=kx+m， 由 消去y得（2k 2 +1）x 2 +4kmx+2m 2 -2=0， 设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）， 则 ， 且 ， ， 由已知α+β=π得 ， 即 ， 化简，得2kx 1 x 2 +（m-k）（x 1 +x 2 ）-2m=0， ∴2k· ，解得m=-2k， ∴直线MN的方程为y=k（x-2）， 因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。