Question

如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]

如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由于点C在抛物线的图象上，则有：k=-3；
∴y=x²-2x-3；
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故填：k=-3，A（-1，0），B（3，0）；

（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM；
则△AOC的面积=

1

2

AO?OC=

1

2

×1×3=

3

2

，
△MOC的面积=

1

2

OC?|x_M|=

1

2

×3×1=

3

2

，
△MOB的面积=

1

2

OB?|y_M|=

1

2

×3×4=6；
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9；

（3）设D（m，m²-2m-3），连接OD；
则0＜m＜3，m²-2m-3＜0；
且△AOC的面积=

3

2

，△DOC的面积=

3

2

m，△DOB的面积=-

3

2

（m²-2m-3）；
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-

3

2

m²+

9

2

m+6=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

；
∴存在点D（

3

2

，-

15

4

），使四边形ABDC的面积最大，且最大值为

75

8

．