Question

（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC

（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=23．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．

Answer 1

解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=

BD

OD

=

2

3

，
∴OD=3；

（2）连接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AE为圆O的切线；

（3）∵OD∥AC，
∴

BD

AB

=

OD

AC

，即

2

2+3

=

3

AC

，
∴AC=7.5，
∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，
∴S_阴影=S_△BDO+S_△OEC-S_扇形FOD-S_扇形EOG
=

1

2

×2×3+

1

2

×3×4.5-

90π×32

360

=3+

27

4

-

9π

4

=

39?9π

4

．