如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．（1）证明：CF⊥
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角C-AF-E的余...
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角C-AF-E的余弦值．
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（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，
即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°
则PC=2，PD=
，由（1）知，CF⊥DF，
则DF=
，AF=
=
，
即有CF=
=
，又EF∥CD，
则
=
=
，则有DE=
，
同理可得EF=
∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，
即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°
则PC=2，PD=
| 3 |
则DF=
| ||
| 2 |
| AD2+DF2 |
| ||
| 2 |
即有CF=
| AC2?AF2 |
| 1 |
| 2 |
则
| PE |
| PD |
| CF |
| PC |
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
同理可得EF=
