Question

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（1）已知函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（1）已知函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）在（1）的结论下，对于任意的0＜a＜b，证明：f(b)?f(a)b?a＜1a-1．

Answer 1

（1）解：由f（x）=lnx-mx+m，得f′(x)＝

1

x

?m (x＞0)．
∵f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，
∴f′（1）=1-m=0，即m=1；
（2）解：∵f′(x)＝

1

x

?m (x＞0)．
当m≤0时，f′(x)＝

1

x

?m＞0，知函数f（x）在（0，+∞）递增；
当m＞0时，f′(x)＝

?m(x? 1 m )

x

，由f′（x）＞0，得x∈(0，

1

m

)，
由f′（x）＞0，得x∈(

1

m

，+∞)．
即函数f（x）在(0，

1

m

)上递增，在(

1

m

，+∞)上递减；
（3）证明：由（1）知m=1，得f（x）=lnx-x+1，
对于任意的0＜a＜b，

f(b)?f(a)

b?a

＜

1

a

-1可化为

(lnb?b)?(lna?a)

b?a

＜

1

a

?1，其中0＜a＜b，
?

ln b a

b a ?1

＜1，其中0＜a＜b，
?

lnt

t?1

＜1，t＞1?lnt-t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．
由（2）知，函数f（x）在（1，+∞）递减，且f（1）=0，于是上式成立．
故对于任意的0＜a＜b，

f(b)?f(a)

b?a

＜

1

a

?1成立．