Question

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，点Q沿折线CBA以每秒2个单位的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是______，面积是______；（2）探究下列问题：①当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；②在点P和点Q的运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形，若能，请直接写出t的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵菱形ABCD的两个顶点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）．
∴|CD|=

32+42

=5，S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×6×8=24．
故答案为：5，24．
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
作BE⊥AD，由

1

2

AD?BE=

1

2

BD?AO得BE=

24

5

，
过点Q作QG⊥AD，垂足为G，有QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

＝

QA

BA

∴QG=

48

5

-

48t

25

，
∴S=

1

2

AP?QG=

24

25

t2+

24

5

t=

24

25

(t?

5

2

)2+6，
∴当t=

5

2

时，S的最大值为6．
②由AP=AQ得t=10-2t，
解得t=

10

3

．
故当t=

10

3

时，△APQ为等腰三角形．