Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求证数列{an+2}为等比数列；（2）若数列{bn}

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求证数列{an+2}为等比数列；（2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求证：Tn≥12．

Answer 1

（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2．
再由S_n=2a_n-2n（n∈N₊），可得 s_n+1=2a_n+1-2（n+1），
∴s_n+1-S_n =2a_n+1-2a_n-2，即 a_n+1=2a_n +2，故有 a_n+1+2=2（a_n +2 ），
故数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n +2=4×2^n-1，∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂（4×2^n-1 ）=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

4×2n?1

=

n+1

2n+1

．
∴数列{

bn

an+2

}的前n项和T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

 ①，
∴

1

2

 T_n=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

  ②，
①-②可得

1

2

 T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1? 1 2n?1 )

1? 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
故T_n=

3

2

-

n+3

2n+1

，∴T_n+1=

3

2

-

n+4

2n+2

，T_n+1-T_n=

n+2

2n+2

＞0，故T_n是关于n的增函数，
显然满足 T_n≥T₁=

1

2

．