Question

已知函数f（x）=ax+bxex，a，b∈R，且a＞0．（1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）=a（x-1

已知函数f（x）=ax+bxex，a，b∈R，且a＞0．（1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）=a（x-1）ex-f（x）．当a=1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值．

Answer 1

（1）当a=2，b=1时，f（x）=

2x+1

x

?ex，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
∴f′（x）=?

1

x2

?ex+

2x+1

x

?ex=

(2x?1)(x+1)

x2

?ex．
令f′（x）=0，得x=-1或

1

2

，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞

1

2

；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

．
∴x=-1时f（x）取得极大值f（-1）=

1

e

，x=

1

2

时f（x）取得极小值f（

1

2

）=4

e

；
（2）∵g（x）=a（x-1）e^x-f（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
当a=1时，g（x）=（x-

b

x

-2）e^x，
∵g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x2?2x?

x

ex

在（0，+∞）上恒成立，
记h（x）=x2?2x?

x

ex

（x＞0），则h′（x）=

(x?1)(2ex+1)

ex

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数．
∴h（x）_min=h（1）=-1-

1

e

．
∴b≤?1?

1

e

，即b的最大值为-1-

1

e

．